Merci à Dnaref84 qui a rédigé la totalité de cette proposition de correction
Correction de la partie QCM mathématiques du concours pour le recrutement de contrôleurs des douanes, branche SURV, session 2019.
C1 - Réponse : c) 54-9
C2 - Réponse : a) -20
C3 - Réponse : c) 120 heures
C4 - Réponse : c) (100010)2
C5 - Réponse : b) 20 €
C6 - Réponse : b) 4 heures
C7 - Réponse : a) (2x + 7)(2x – 11)
C8 - Réponse : a) 50 cm * 50 cm
C9 - Réponse : b) 108
C10 - Réponse : a) 5 700 grammes
C11 - Réponse : c) 1.44z
C12 - Réponse : c) 25 %
C13 - Réponse : b) 280
C14 - Réponse : a) L'ensemble avec 2 croix, 3 "+" et 2 "*"
C15 - Réponse : a) x² – 1
Q.C.1 : Lequel des nombres ci-dessous est égal à 543 / 5412 ?
a) 19
b) 115
c) 54-9
d) Aucune des propositions a, b ou c n’est valable.
La règle mathématique dit :
Pour tout nombre réel a non nul, et pour tous entiers relatifs m et n non nuls, on a : am / an = am-n
Ainsi :
543 / 5412 = 543-12 = 54-9.
Réponse : c) 54-9
Q.C.2 : Quelle est l’image de (-1) par le polynôme de degré 3 suivant ?
((x – 5) x + 14) x
a) -20
b) -8
c) -1
d) 0
Il suffisait juste de remplacer l'inconnue x par (-1) en faisant tout de même attention aux règles de priorité sur les opérations !
A savoir les calculs contenus entre parenthèses, puis les multiplications et enfin les additions, soustractions.
Ici, il y a 2 parenthèses, il fallait commencer par calculer celle la plus à l'intérieur, à savoir : (x-5).
On a alors : (-1) - 5 = -6.
Ensuite, vient la multiplication par x, donc : (-6) * (-1) = 6.
Puis, l'addition qui vient clore le calcul de la parenthèse la plus à l'extérieur : 6 + 14 = 20.
Et enfin, on remultiplie par x : 20 * (-1) = -20.
Au final, l'image de (-1) par ((x-5)x + 14)x est (-20).
Réponse : a) -20
Q.C.3 : Un réservoir d’eau est percé à sa base et perd 5 litres par heure.
Sachant que ce réservoir est un cube d’1 mètre d’arête et qu’il était plein lorsque la fuite a commencé, combien de temps faudra-t-il pour que le réservoir se vide ?
a) 100 heures
b) 110 heures
c) 120 heures
d) 130 heures
Le réservoir est un cube d'1 mètre d'arête, donc la formule du volume d'un cube étant de : V = arête ^ 3, on a : V = 1^3 = 1 m^3 = 1 000 dm^3 = 1000 L car 1 L = 1000 dm^3.
Or le réservoir était plein aux 3/5, donc la capacité du réservoir était de : (3/5) * 1000 = 3000 / 5 = 600 L lorsque la fuite a commencé.
Enfin, le débit de perte d'eau du réservoir étant de 5 L par heure, par une règle de trois, le temps qu'il faudra pour que le réservoir se vide sera de : (600*1) / 5 = 120 heures.
Réponse : c) 120 heures
Q.C.4 : Convertir le nombre décimal en binaire :
(34)10 = … ?
a) (10111)2
b) (11110)2
c) (100010)2
d) (100100)2
La méthode pour convertir un nombre décimal en binaire est de faire une suite de divisions euclidiennes par 2, puis de juxtaposer les restes en remontant la lecture afin d'avoir sa correspondance en binaire.
Ainsi :
34 / 2 = 17 reste 0
17 / 2 = 8 reste 1
8 / 2 = 4 reste 0
4 / 2 = 2 reste 0
2 / 2 = 1 reste 0
En remontant, on obtient alors que : (34)10 = (100010)2.
Quant aux autres propositions :
(10111)2 = (23)10.
(11110)2 = (30)10.
Et enfin (100100)2 = (36)10.
Réponse : c) (100010)2
Q.C.5 : Sachant qu’1 euro ≈ 6,55 francs, lequel des billets libellés en euros est le plus proche en valeur de l’ancien billet de 200 francs ?
a) 10 €
b) 20 €
c) 50 €
d) 100 €
Sachant que 1 € ≈ 6.55 francs, par une règle de trois, on a :
10 * 6.55 ≈ 65.5 francs
20 * 6.55 ≈ 131 francs
50 * 6.55 ≈ 327.5 francs
et 100 * 6.55 ≈ 655 francs
On en conclut que le billet de 20 € est celui le plus proche du billet de 200 francs. Car la différence est inférieure à celle du billet de 50 € : 69 francs pour le billet de 20 € contre 127.5 francs pour le billet de 50 €.
Réponse : b) 20 €
Q.C.6 : Sylvain a parcouru les 180 km d’une étape du Tour de France à la vitesse moyenne de 45 km/h.
Quelle a été pour lui la durée de l’étape ?
a) 3 heures
b) 4 heures
c) 5 heures
d) 6 heures
En utilisant la formule : Distance (en km) = Vitesse (en km/h) * Temps (en h), par une simple règle de trois, on obtient :
Temps = Distance / Vitesse = 180 / 45 = 4.
Ainsi, la durée de l'étape de Sylvain a été de 4 heures.
Réponse : b) 4 heures
Q.C7 : Factoriser l’expression suivante :
4(x – 1)2 – 81
a) (2x + 7)(2x – 11)
b) 4x2 – 97
c) 4x2 – 82
d) (x2 + 4)(x – 9)
Il fallait repérer ici l'identité remarquable :
a² - b² = (a+b)(a-b) !
Attention toutefois aux erreurs de calcul...
On a :
4(x-1)² – 81
= [2(x-1)]² - 9² et on repère alors l'identité remarquable avec a = 2(x-1) et b = 9.
= [2(x-1) + 9] [2(x-1) – 9]
= (2x - 2 + 9)(2x - 2 – 9)
= (2x + 7)(2x – 11).
Réponse : a) (2x + 7)(2x – 11)
Q.C.8 : Patrick réalise une mosaïque de forme carrée.
Il dispose à cet effet de carreaux de 1 cm de côté dont 25 % sont jaunes, les 2/5 èmes sont bleus et les 875 restants sont blancs. Quelle sera la taille de la mosaïque ?
a) 50 cm x 50 cm
b) 125 cm x 125 cm
c) 1 m²
d) 2,5 m²
Soit x le nombre total de carreaux de 1 cm de côté que Patrick dispose.
La phrase 25 % sont jaunes, les 2/5 èmes sont bleus et les 875 restants sont blancs peut se traduire par l'équation suivante : x = (25/100)x + (2/5)x + 875.
En réduisant sous le même dénominateur, on obtient :
(100/100)x = (25/100)x + (40/100)x + (87500/100)
100x = 25x + 40x + 87500 après simplification
100x - 25x - 40x = 87500
35x = 87500
x = 87500 / 35 = 2500.
Patrick dispose ainsi de 2500 carreaux de 1 cm de côté, soit une surface totale de 2500 cm².
Souhaitant réaliser une mosaïque de forme carré, on en déduit que le côté du carré est de : √(2500) = 50 cm.
Et ainsi la taille de la mosaïque est de 50 cm * 50 cm.
Réponse : a) 50 cm * 50 cm
Q.C.9 : 106 x 105 ÷ 103 =… ?
a) 104
b) 108
c) 1010
d) 1027
Les règles mathématiques disent que :
Pour tout nombre réel a non nul, et pour tous entiers relatifs m et n non nuls, on a : am x an = a(m+n).
Et pour tout nombre réel a non nul, et pour tous entiers relatifs m et n non nuls, on a : am / an = a(m-n). (cf Q.C.1.)
De plus, la multiplication et la division étant de priorité égale, on suit tout simplement l'ordre du calcul.
Ainsi :
106 * 105 / 103 = 1011 / 103 = 108.
Réponse : b) 108
Q.C.10 : Pendant les vacances, le chat de Sylvia a perdu 30 décagrammes qui correspondent à 5 % de son poids initial.
Quel est son poids actuel ?
a) 5 700 grammes
b) 6 000 gramme
c) 6 300 grammes
d) 6 600 grammes
Soit x le poids initial du chat de Sylvia.
La phrase "le chat de Sylvia a perdu 30 décagrammes qui correspondent à 5 % de son poids initial" peut être traduite par l'équation suivante : (5/100)x = 30
Ainsi en multipliant par 100 des 2 côtés, on obtient :
5x = 3 000
x = 3 000 / 5 = 600.
On en conclut alors que le poids initial du chat de Sylvia est de 600 décagrammes, soit encore 6 000 grammes.
Et par conséquent, le poids actuel du chat de Sylvia est de 6 000 - 300 = 5 700 grammes. (car 30 décagrammes = 300 grammes)
Réponse : a) 5 700 grammes
Q.C.11 : Exprimer x en fonction de z, sachant que :
x = 1,2 y et y = 1,2 z
a) 1,2 z
b) 1,22 z
c) 1,44 z
d) 2,11 z
On a les 2 équations suivantes :
x = 1.2y (1)
y = 1.2z (2)
Il suffit alors de réinjecter la valeur de y de l'équation (2) dans l'équation (1). On obtient ainsi :
x = 1.2 * (1.2z) = 1.44z.
Réponse : c) 1.44z
Q.C.12 : Un supermarché met en vente 4 bouteilles de jus de fruit pour le prix de trois.
Cela équivaut à une remise de :
a) 5 %
b) 20 %
c) 25 %
d) 33 %
Soit x le prix initial d'une bouteille de jus de fruits.
Le prix initial de 4 bouteilles étant de 4x et le prix de remise de 3 bouteilles à savoir 3x, le montant de la remise est alors égale au prix d'une bouteille à savoir x.
Ainsi le pourcentage de la remise est donnée par la formule :
(Montant de la remise * 100) / Prix initial.
D'où : (x*100) / 4x = 100 / 4 = 25.
La remise est alors de 25 %.
Réponse : c) 25 %
Q.C.13 : Quel est le plus petit commun multiple des nombres 56 et 20 ?
a) 1 120
b) 280
c) 36
d) Aucune des propositions a b ou c n’est valable.
Il existe 2 méthodes pour déterminer le plus petit commun multiple (PPCM) de 56 et 20 :
Soit par la décomposition des nombres en facteurs premiers : 56 = 2^3 * 7 et 20 = 2² * 5.
Puis on obtient le PPCM en prenant tous les facteurs premiers, par les plus hautes puissances. Ainsi :
PPCM (56;20) = 2^3 * 5 * 7 = 280.
Soit en calculant le plus grand commun diviseur (PGCD) de 56 et 20, en passant par l'algorithme d'Euclide.
On a : 56 = 20 * 2 + 16
20 = 16 * 1 + 4
16 = 4 * 4 + 0
On prend donc le dernier reste différent de 0, donc PGCD(56 ; 20) = 4.
Puis en utilisant la formule : PPCM (a;b) * PGCD (a;b) = a*b, on obtient ainsi :
PPCM (56;20) = (56*20) / PGCD (56;20) = 1120 / 4 = 280.
Réponse: b) 280
Q.C.14 : Sachant que la somme des valeurs attribuées aux symboles rend les trois ensembles ci-dessous équivalents, retrouver, parmi les propositions, l’ensemble équivalent aux trois autres :
En appelant X le nombre de croix, Y le nombre de "+" et Z le nombre de "*", on a la relation suivante :
3X + 3Y = 3X + Y + Z = X + 3Y + 4Z.
On peut remarquer, dans la 1ère égalité, que les termes en "X" se simplifient. On obtient alors :
3Y = Y + Z = X + 3Y + 4Z
Et ainsi : Z = 2Y dans la 1ère égalité. Une "*" vaut alors 2 "+".
D'autre part :
3X + 3Y = X + 3Y + 4Z
3X + 3Y = X + 3Y + 4*(2Y)
3X + 3Y = X + 3Y + 8Y
2X = 8Y
X = 4Y. Ainsi, une croix vaut 4 "+".
On vérifie ainsi que les 3 ensembles donnés sont équivalents à 15 "+". En effet :
3*4 + 3 = 15
3*4 + 1 + 1*2 = 12 + 1 + 2 = 15
1*4 + 4*2 + 3 = 4 + 8 + 3 = 15
Il faut ainsi rechercher l'ensemble dont le total équivaut à 15 "+".
Seul l'ensemble a) répond à la question, en effet :
Ensemble a) : 2*4 + 3 + 2*2 = 8 + 3 + 4 = 15
Ensemble b) : 4 + 2 + 2*2 = 4 + 2 + 4 = 10 ≠ 15
Ensemble c) : 3*4 + 2*2 = 12 + 4 = 16 ≠ 15
Et ensemble d) : 2*4 + 3 + 3*2 = 8 + 3 + 6 = 17 ≠ 15.
Réponse : a) L'ensemble avec 2 croix, 3 "+" et 2 "*"
Q.C.15 : Développer et réduire l’équation suivante : (x+1)(x-1)
a) x² – 1
b) x² + 1
c) 2 (x + 1)
d) 2x
On pouvait bien sûr développer l'expression !! (et non l'équation comme la question le sous-entend... ) en utilisant la double-distributivité, à savoir : (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd, puis réduire afin d'aboutir à la proposition a) x² - 1. En faisant attention toutefois aux erreurs de calcul...
Mais, ici on remarque d'ores-et-déjà l'identité remarquable : (a+b)(a-b) = a² - b² !! (avec a = x et b = 1), ce qui permet instantanément d'avoir la réponse...
Réponse :a) x² – 1