QCM 2019 contrôleur des douanes – branche OP/CO - partie mathématiques -
Correction de la partie QCM mathématiques du concours pour le recrutement de contrôleurs des douanes, branche OP/CO, session 2019.
Merci à dnaref84 qui a rédigé cette proposition de correction.
Merci à dnaref84 qui a rédigé cette proposition de correction.
C1 - Réponse : c) 5%
C2 - Réponse : c) 6
C3 - Réponse : a) x = 14
C4 - Réponse : c) 150 €
C5 - Réponse : b) 4,250 km
C6 - Réponse : b) 107
C7 - Réponse : c) 12H30
C8 - Réponse : d) -5x² + 6x – 2
C9 - Réponse : c) 6 200
C10 - Réponse : c) 12 jours
C11 - Réponse : a) 2√2
C12 - Réponse : d) x = 600
C13 - Réponse : d) 82 m
C14 - Réponse : b) 240 L
C15 - Réponse : b) 24.96 €
Q.C.1 : Le prix d’achat brut d’un téléviseur est 440 €. Son prix d’achat net après remise est 418 €. Quel est le taux de la remise ?
a) 3%
b) 4%
c) 5%
d) 6%
Le prix d'achat brut du téléviseur est de 440 € et le prix d'achat net après remise est de 418 €.
On en déduit alors que le montant de la remise est égale à : 440 - 418 = 22 €.
La formule du taux de remise (en %) étant donnée par : (Montant de la remise * 100) / (Prix d'achat brut), on a ainsi :
(22 * 100) / 440 = 2200 / 440 = 5.
On en conclut que le taux de remise est alors de 5%.
Réponse : c) 5%
Q.C.2 : Quel est le plus grand commun diviseur de 12 et 90 ?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
12 possède 6 diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
De plus, 90 possède 12 diviseurs : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 et 90.
Par conséquent, on en déduit que le plus grand commun diviseur (PGCD) de 12 et 90 est alors 6.
Une méthode pour trouver le PGCD consiste à passer par l'algorithme d'Euclide. On obtient :
90 = 12 * 7 + 6
12 = 6 * 2 + 0
Ainsi, on prend le dernier reste différent de 0, et donc PGCD(12 ; 90) = 6.
Réponse : c) 6
Q.C.3 : Quel est le nombre « x » tel que : x / 36 = 35 / 90
a) x = 14
b) x = 15
c) x = 16
d) x = 17
Il s'agit ici d'appliquer la règle des produits en croix. A savoir :
Pour tous réels a, b, c et d on a : (a / b) = (c / d) ⇔ a * d = b * c.
Ainsi : (x / 36) = (35 / 90)
⇔ x * 90 = 36 * 35
⇔ 90x = 1260
⇔ x = 1260 / 90 = 14.
Réponse : a) x = 14
Q.C.4 : Kevin a reçu une somme d’argent pour son anniversaire. Il en place les 2 /3 sur son livret d’épargne, en dépense 1 /5 et il lui reste 40 €. Quelle somme a-t-il reçue ?
a) 300 €
b) 200 €
c) 150 €
d) 500 €
En appelant x la somme reçue par Kevin pour son anniversaire, la phrase : "Il en place les 2/3 sur son livret d'épargne, en dépense 1/5 et il lui reste 40 € peut se traduire par l'équation suivante :
x - (2/3)x - (1/5) * (x - (2/3)x ) = 40.
Ainsi on obtient :
x - (2/3)x - (1/5)x + (2/15)x = 40
(15/15)x - (10/15)x - (3/15)x + (2/15)x = 40
(4/15)x = 40
4x = 40 * 15 = 600
x = 600 / 4 = 150.
On en conclut que la somme reçue par Kevin est de 150 €.
Réponse : c) 150 €
Q.C.5 : Sur une carte au 1 /50 000 deux villes sont distantes de 8,5 cm. Quelle est leur distance réelle ?
a) 425 m
b) 4,250 km
c) 42,5 km
d) 50 km
La distance des 2 villes sur le plan est de 8.5 cm. En utilisant la formule :
Echelle = Dimension sur le plan / Dimension réelle, on obtient :
Dimension réelle = Dimension sur le plan / Echelle = 8.5 / (1/50 000) = 8.5 * 50 000 = 425 000 cm = 4,250 km.
Ainsi, la distance réelle des 2 villes est de 4,250 km.
Réponse : b) 4,250 km
Q.C.6 : Calculer : (104)3 x 10-5
a) 102
b) 107
c) 105
d) 104
On utilise ici les règles mathématiques sur les puissances. A savoir :
Pour tout nombre réel a non nul et pour tous entiers relatifs m, n non nuls, on a :
(a^m)^n = a^(m*n) et a^m * a^n = a^(m+n)
Ainsi :
(10^4)^3 * 10^(-5) = 10^(4*3) * 10^(-5) = 10^(12) * 10^(-5) = 10^(12+(-5)) = 10^7.
Réponse : b) 107
Q.C.7 : Stéphanie part à 8 heures et marche à la vitesse de 7 km/h. Partant du même point à 11 heures, un cycliste se lance à sa poursuite à la vitesse de 21 km/h. À quelle heure la rejoindra-t-il ?
a) 12H00
b) 12H15
c) 12H30
d) 12H45
Avant que le cycliste ne parte, il s'est écoulé 11h - 8h = 3h.
Donc la distance parcourue par Stéphanie pendant ce temps est égale à : 7 * 3 = 21 km.
La distance qui sépare Stéphanie du cycliste avant que ce dernier part est de 21 km.
On peut désormais reformuler les données du problème et considérer qu’ils sont partis en même temps et que la distance qui les sépare à ce moment est de 21 km (on n’ajoute rien car ils sont partis du même endroit).
A partir du moment que le cycliste part,
Stéphanie continue de s’éloigner à la vitesse de 7 km/h.
Le cycliste roulant à la vitesse de 21 km/h, il se rapproche à une vitesse relative de 21 - 7 = 14 km/h.
Ainsi, en utilisant la formule : Distance = Vitesse * Temps, on obtient :
21 = 14 * Temps
Temps = 21 / 14 = 3 / 2 = 1.5 h = 1 h 30 min.
Par conséquent, le cycliste aura rejoint Stéphanie au bout de 1 h 30 min.
De plus, le cycliste étant parti à 11h, il la rejoindra ainsi à 11h + 1 h 30 min = 12 h 30 min.
Réponse : c) 12H30
Q.C.8 : Développer, réduire et ordonner l’expression suivante : (2x + 1) (2x – 1) – (3x – 1)² ?
a) - 5x² - 6x – 2
b) - 5x² + 6x
c) 13x² + 6x – 2
d) - 5x² + 6x – 2
On reconnaît dans cette expression les identités remarquables suivantes :
(a+b)(a-b) = a² - b² (avec a = 2x et b = 1)
et (a-b)² = a² - 2ab + b² (avec a = 3x et b = 1)
Ainsi :
(2x + 1) (2x - 1) - (3x – 1)²
= (2x)² - 1² - ( (3x)² - 2 * 3x* 1 + 1²)
= 4x² - 1 - (9x² - 6x + 1)
= 4x² - 1 - 9x² + 6x – 1
= -5x² + 6x - 2.
Réponse : d) -5x² + 6x – 2
Q.C.9 : Une cuve de fioul a une capacité de 6,2 m 3. Elle est remplie aux 3 /5. Combien contient-elle de litres ?
a) 3 600
b) 4 000
c) 6 200
d) 2 000
La question peut paraître piégeuse, mais on recherche tout simplement la capacité en litres de la cuve de fioul !
A savoir que la cuve de fioul possède une capacité de 6.2 m3.
Donc après conversion, on a : 6.2 m3 = 6 200 dm3 = 6 200 L (car 1 dm3 = 1 L).
La condition "remplie aux 3/5" était inutile ici !
Auquel cas, on aurait précisé : "Combien contient-elle de litres après remplissage ?
Réponse : c) 6 200
Q.C.10 : Pour construire un garage, il faut 3 maçons pendant 16 jours. Combien de temps faudrait-il avec 4 maçons ?
a) 14 jours
b) 10 jours
c) 12 jours
d) 15 jours
Pour la construction du garage, il faut 3 maçons pendant 16 jours.
Donc pour 1 maçon, il lui faudra alors 3 fois plus de temps, à savoir 16 * 3 = 48 jours.
Par conséquent, pour 4 maçons, il faudra ainsi 4 fois moins de temps, à savoir : 48 / 4 = 12 jours pour construire le garage.
Réponse : c) 12 jours
Q.C.11 : Exprimer à l'aide de √2 : √18 -√50 + √32
a) 2√2
b) 3√2
c) 4
d) 5√2
On utilise la règle mathématique suivante sur la racine carrée :
Pour tous nombres réels positifs a et b, on a : √(a*b) = √a * √b.
Ainsi :
√18 - √50 + √32
= √(9 * 2) - √(25 * 2) + √(16 * 2)
= √9 * √2 - √25 * √2 + √16 * √2
= 3√2 - 5√2 + 4√2
= 2√2.
Réponse : a) 2√2
Q.C.12 : Résoudre l’équation suivante : (1/2)x + (1/3)x + 100 = x
a) x = 100
b) x = 200
c) x = 400
d) x = 600
(1/2)x + (1/3)x + 100 = x
Après réduction sous le même dénominateur, on obtient :
(3/6)x + (2/6)x + (600/6) = (6/6)x
3x + 2x + 600 = 6x (après simplification par 6)
6x - 3x - 2x = 600
x = 600.
Réponse : d) x = 600
Q.C.13 : Un terrain rectangulaire de 378 m² a une largeur de 14 m. Quel est son périmètre ?
a) 41 m
b) 61 m
c) 71 m
d) 82 m
La surface d'un rectangle étant donnée par la formule : Aire = Longueur * Largeur, la longueur du terrain est de :
Aire / Largeur = 378 / 14 = 27 m.
Par ailleurs, le périmètre d'un rectangle étant donné par la formule :
Périmètre = 2 * (Longueur + Largeur), le périmètre du rectangle est ainsi de :
2 * (27 + 14) = 2 * 41 = 82 m.
Réponse : d) 82 m
Q.C.14 : Dans un aquarium rempli aux 2 /3, on verse 20 litres d’eau. Il est alors rempli aux 3 /4. Quelle est sa capacité en litres ?
a) 30 L
b) 240 L
c) 320 L
d) 420 L
En appelant x la capacité en litres de l'aquarium, l'énoncé peut être traduit par l'équation suivante :
(2/3)x + 20 = (3/4)x
Après réduction sous le même dénominateur, on obtient :
(8/12)x + (240/12) = (9/12)x
8x + 240 = 9x (après simplification par 12)
9x - 8x = 240
x = 240.
La capacité de l'aquarium est alors de 240 L.
Réponse : b) 240 L
Q.C.15 : Une somme de 600 € est placée au taux annuel de 4 %. Quel est l’intérêt versé la 2ème année (les intérêts de la 2ème année sont capitalisés) ?
a) 24 €
b) 24,96 €
c) 624 €
d) 624,96 €
Une somme de 600 € est placée au taux annuel de 4%.
Donc le nouveau capital après la première année est de :
600 * (1 + Taux) = 600 * (1 + (4/100)) = 600 * 1.04 = 624 €.
D'où un intérêt versé la première année de : 624 - 600 = 24 €.
Or, comme les intérêts de la 2ème année sont capitalisés, l'intérêt versé la seconde année est alors de :
Intérêt la 1ère année * (1 + Taux) = 24 * (1 + (4/100)) = 24 * 1.04 = 24.96 €.
Réponse : b) 24.96 €